Clasificación de los circuitos

Cuando aplicamos una excitación a un circuito obtenemos dos respuestas, la respuesta propia y la respuesta forzada.
La respuesta propia es la que viene dada por los elementos que forman el circuito y la forzada es de la misma forma que la excitación.
La respuesta propia suele ser una expresión exponencial que tiene a desaparecer.

Los Circuitos pueden ser Estables o Inestables

• Un circuito es estable si su respuesta propia es una exponencial que se desvanece con el tiempo.
• Un circuito es inestable cuando la respuesta propia es una exponencial que crece con el tiempo.

Si analizamos un circuito y obtenemos su función de red podemos determinar a simple vista si el circuito será estable o inestable.

El circuito será estable si:

• Para un polinomio de primer grado el polinomio es completo y del mismo signo
• Un polinomio de primer grado es marginalmente estable si su función de red es la siguiente.

• Para un polinomio de segundo orden:

• Para un polinomio de tercer orden:

• Ninguna fuente controlada y la presencia de al menos una resistencia.

Como ya hemos ido diciendo a lo largo del blog, toda señal tiene un periodo llamado régimen transitorio donde la respuesta no se puede predecir pero ahora si que ponemos saber cual es la duración de este para ello cogemos los polos de la función de red y decimos que:

Por lo tanto cuando se cumpla la condición anterior entraremos en el Régimen Permanente Senoidal. Es decir, solo tendremos la respuesta forzada.

Transformada de Laplace y sus aplicaciones en los circuitos.

Esta transformada nos va a permitir transformar un circuito de dominio temporal a uno en dominio frecuencial. Además también va a permitirnos resistivizar el circuito.

Tenemos una tabla con las transformadas que vamos a usar a lo largo de la asignatura.

La transformada de Laplace de los elementos pasivos que hemos visto a lo largo de la asignatura es la siguiente:

• Condensador

Si no hay condiciones iniciales la transformada de Laplace del condensador es 1/CS.

• Bobina

Lo que nos permite ver esta herramienta es que cuando analizamos un circuito con condiciones iniciales existe una exponencial que generalmente tiende a desvanecerse. Esta exponencial suele ser conocida como régimen transitorio y es un periodo donde no se puede predecir la respuesta del circuito.

Para analizar un circuito utilizando la tranformada de Laplace lo primero que debemos hacer es la Transformada de Laplace de los diferentes elementos del circuito.

Una vez tengamos el circuito en dominio frecuencial extraemos la función de red.

Por ejemplo si tenemos la siguiente función de red

Hay que tener en cuenta que cuando aplicamos una excitación en un circuito aparecen unos términos que dependen del circuito y un término que tiene la misma forma de vg. Estos términos dependientes, dependen de donde estén situados los polos.

Estos polos los extraemos de la función de red. Si estos están situados en el semiplano izquierdo será un circuito estable (Alcanzaremos el RPS). Si alguno de sus polos está en el semiplano derecho el circuito será inestable (no alcanzaremos nunca el RPS) y si los polos están situados solo en el eje imaginario tendremos un oscilador. 

Circuitos con excitación periódica

Cuando tenemos una excitación periódica da igual cual sea su forma ya que siempre la podemos transformar en una señal senoidal.

Como llevamos a cabo este proceso?
Pues usamos el desarrollo en series de Fourier (DSF) una técnica que nos permite desglosar una señal periódica en diferentes armónicos.
Estos armónicos se diferencian en que la frecuencia a la que oscilan es n veces la frecuencia del armonico fundamental.
La frecuencia fundamental (fo) es la propia de la excitación. A partir de esta tenemos 3 formas de representar el DSF.

• Matemática

  donde T = 1/fo  

        

• Circuital

Para darle un valor circuital primero debemos encontrar la función de red y particularizarla a S=2 πfo
Para hallar la función de red debemos utilizar el método de superposición.

• Espectral

Representamos la amplitud de la función según la frecuencia. Es decir, pasamos la función al domino frecuencial.

   Lo mismo sucede con la fase, esta también puede ser representada a partir de la frecuencia.

Para obtener la salida lo que hacemos es:
- Espectro de amplitud por el valor absoluto de la función de red.
- Espectro de fase por el argumento del módulo de la función de red.

Factores a tener en cuenta:

• Contra más elevada es la frecuencia de una sinusoide mayor es su pendiente.
• Si los armónicos de alta frecuencia son muy grandes quiere decir que la señal tiene cambios/flancos abruptos.

Y si lo que quiero es calcular la potencia?

Pues podemos sumas las potencias asociadas a los distintos generadores siempre y cuando tengan distinta frecuencia.

En conclusión, nos es muy útil el DSF ya que a partir de él podemos transformar cualquier señal periódica en una sinusoide y diseñar o modelar un circuito para que amplifique o atenúe determinadas frecuencias.

Bode

Durante esta semana hemos estado estudiando la respuesta circuital de un circuito según sea la frecuencia de la excitación. Para ello hemos usado los trazados de Bode.

Lo primero que debemos hacer para elaborar un trazado de bode es factorizar la función de red.

Una vez factorizada, el diagrama de Bode total es la suma de los diagramas de bode sencillos.

• Términos contantes: H(s) = K.

Las curvas de magnitud son constante y la fase es siempre 0 o -180º.

• Un polo k/s (en el caso de la imagen es un polo en el origen).

La pendiente es siempre de -20dB/dec y con un desfase contante de -90º.

• Polo Real.

• Cero real.

La pendiente es siempre de +20 dB/dec con un desfase de 90º

• Polos complejos conjugados.

Recordar que siempre debemos aislar el coeficiente de mayor orden/grado.

 

Se cumple que:

•  0 < ρ < 1, tendremos dos raíces complejas conjugadas.Y que si ρ más pequeño de 0,1 tendremos un pico de resonancia con un ancho de banda BW=  2·ρ·ω

              También sabemos que el factor de calidad Q es igual a:    Q= 1/ 2ρ >5

• Si  ρ >1 tendremos dos raíces reales negativas

                         P1,2 = -ρωo ∓ ωo 

• Si ρ =1 tendremos 1 raíz doble negativa  

                         P1,2 = -ωo 

Transformadores

Hay dos tipos de transformadores, el Transformador ideal (T.I.) y el Transformador Perfecto.

Un transformador ideal se base en dos bobinas acopladas magnéticamente en torno a un núcleo.
Este tipo de transformador en la realidad no existe, solo sirve como modelo teórico y responde a las siguientes relaciones.

El transformador que sí que tiene modelo físico se conoce como transformador perfecto.
Unos ejemplos físicos.

Este se basa en dos devanados superpuestos, el primario y el secundario, entorno a un núcleo generalmente formado de pigmentos de ferrita, dada la elevada permeabilidad magnética (μ) de este material. Los devanados suelen ser de cobre, ya que este es un buen conductor.

Su modelo circuital es el siguiente:

El transformador ideal no funciona en continua ya que ω es 0 lo que implica que la inductáncia L1 = 0.
Este tiene una relación de transformación N basada en las siguientes relaciones.

El núcleo esta compuesto ferrita dada su elevada permeabilidad pero, por qué no usamos una barra de hierro en lugar de las virutas de este elemento (ferrita)?
Pues no usamos la barra de hierro ya que este se interpreta como una única espira en cortocircuito dada la gran conductividad de este material.

Un transformador tiene dos aplicaciones que nos van a interesar a lo largo de la asignatura.

• Cambiar la Tensión y la corriente.
• Cambiar la Impedancia (Z).

La segunda aplicación la usaremos para cambiar el valor que una linea de transmisión con una Zo (impedancia característica) espera ver en los terminales de salida.
Para hacer esto viable se suele anular la L1 para transformar nuestro transformador perfecto en un transformador ideal.

¿Cómo anulamos esa inductancia característica de los transformadores perfectos?
La primera opción sería trabajar a una frecuencia elevadisima con tal de hacer tender L a infinito.
La segunda forma, y la que suele ser la mas utilizada, es que pongamos un condensador en paralelo a la inductancia. Para que se anulen mutuamente se debe fijar una frecuencia (frecuencia de resonancia) que cumpla:

Si trabajamos a esa frecuencia, entonces nos queda un T.I. con una relación Rin= RL · n^2, lo que nos permite modificar el valor de la impedancia.

Lineas de Transmisión

Las lineas de transmisión tienden a ser circuitos de grandes dimensiones que solo cumplen las leyes de kirchhof dado que estas están constituidas por agrupaciones de células formadas por un serie condensador - bobina.

Estas están en zona de validez si y solo si cumplen las siguientes condiciones:

Una Linea de Transmisión nos permite transferir la carga conectada los terminales de salida a la entrada.

Para ello la impedancia Zl debe ser equivalente a la impedancia característica (Zo) de la linea.

                  

La linea de transmisión tiende a ser un cable coaxial que cumple una geometría especifica y que si lo encerramos en una caja negra lo único que veríamos seria un conductor que tiene unas pérdidas elevadas a grandes frecuencias. 

A partir del GHz se produce el efecto pelicular, este nos dice que ha grandes frecuencias la sección se reduce. Lo que hace que se eleve la Resistencia de un material.
                                                                      
Por lo tanto a mayor frecuencia mayores son las perdidas y menor será la potencia transferida a la salida.
Si tenemos que la impedancia parasitaria del propio generador es igual a la impedancia de salida entonces se  produce la transferencia de máxima potencia.
Donde P = (Vg^2)/(8Rg).

Potencias

La potencia, expresada en Watts puede ser Potencia Media (Pm), que varia con el tiempo.

Esta potencia se obtiene de la siguiente expresión en Corrientes Continuas (DC).

En corrientes alternas si la función es bipolar hay que calcular el valor de la tensión eficaz. 

Para ello necesitamos saber que valor de tensión en continua en el intervalo delimita la misma área que determina nuestra función en el mismo intervalo.

Para hallar el valor eficaz utilizamos la siguiente expresión:

En el caso de que la función sea una senoide el valor eficaz es:

Entonces la Potencia (P) en tensiones Alternas (AC) es:

Potencia en señals en general

Potencias en Señales Senoidales.
Vm es la amplitud de la excitación.

La potencia también se puede expresar en dBm (escala logarítmica).

Tambien sabemos que la potencia de salida expresada en dBm es equivalente a la suma de la ganancia en dB y la potencia suministrada en dBm.

PL dBm = GdB + PindBm